การหารพหุนาม

1.การหารพหุนาม ด้วย เอกนาม  

2.การหารพหุนามด้วยพหุนาม

วิธีที่ 1 เรียงพจน์ของพหุนามตัวตั้งและตัวหาร จากพจน์ที่มีดีกรีมากไปน้อยแล้วเขียนการหาร 
วิธีที่ 2 นำพจน์แรกของตัวหาร คือ   ไปหารพจน์แรกของตัวตั้ง คือ   จะได้ผลหารเป็น    เขียนผลหารไว้บรรทัดเหนือตัวตั้ง เขียนตำแหน่งให้ตรงกัน

วิธีที่ 3 นำผลหารที่ได้จากข้อ 2 คือ   ไปคูณตัวหาร คือ   ได้ผลคูณเป็น   เขียนผลคูณไว้ที่บรรทัดใต้ตัวตั้ง             

วิธีที่ 4 นำผลคูณที่ได้จากข้อ 3 คือ   ไปลบออกจากตัวตั้ง คือ   จะได้ผลลบเป็น 

วิธีที่ 5 ผลลบที่ได้จากข้อ 4 คือ    เป็นตัวตั้งใหม่ ให้ดูดีกรีของตัวตั้งใหม่น้อยกว่าดีกรีตัวหาร   หรือ ไม่ถ้าน้อยกว่าให้หยุดการหาร ถ้าไม่น้อยกว่าให้ทำการหารต่อไป

 วิธีที่ 6 นำพจน์แรกของตัวหาร คือ   ไปหารตัวแรกของตัวตั้งใหม่    จะได้ผลหารเป็น   นำผลหารที่ได้ในข้อ 2 เป็น  หรือ  แล้วทำซ้ำขั้นตอนที่ 3 และ 4 จนได้ตัวตั้วใหม่ คือ พหุนาม 0 จึงหยุดการหาร

ทฤษฎีเศษเหลือเหนือพหุนาม

ในการหาเศษที่เกิดขึ้นจากการหารพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยพหุนามที่เป็นตัวหารซึ่งมีดีกรีต่ำกว่านั้นนอกเหนือจากจะหาได้ด้วยวิธีการตั้งหารตามปกติแล้ว ถ้าในกรณีที่ตัวหารเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งแล้วเราสามารถจะหาเศษจากการหารได้ง่าย ๆ ด้วยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือเข้ามาช่วย ซึ่งน่าจะทำให้ประหยัดเวลามากกว่าและมีโอกาสผิดพลาดจากการคำนวณน้อยกว่าวิธีการตั้งหารตรง ๆ นอกจากนี้แล้วยังสามารถประยุกต์หลักการเกี่ยวกับทฤษฎีเศษเหลือนั้นไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาที่ซับซ้อนเกี่ยวกับการหารพหุนามได้อย่างมีประสิทธิภาพ
หลักการที่ควรรู้ ซึ่งผู้เรียนคณิตศาสตร์ควรจำและเข้าใจมีดังนี้
1. ให้ P(x) เป็นพหุนาม ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นจำนวนจริงซึ่งเป็นค่าคงตัว แล้ว เศษที่ได้จากการหารเท่ากับ P( c )

2. ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม ax - b เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริง และ a ไม่เท่ากับ 0 แล้วเศษที่ได้จากการหารจะเท่ากับ P(b/a)
3. x - c เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x) ก็ต่อเมื่อ P(c) = 0
4. ax - b เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x0 ก็ต่อเมื่อ P(b/a) = 0

ตัวอย่าง 1. จงหาเศษจากการหาร x^3 - x^2 - 3x + 6 ด้วย x - 2
วิธีทำ ให้ p(x) = x^3 - x^2 - 3x + 6 แล้ว แทน x ด้วย 2 ลงใน P(x) จะได้ P(2) = 2^3 - 2^2 - 3(2) + 6 = 4
แสดงว่า เศษจากการหารเป็น 4 #
ตัวอย่าง 2 จงหาเศษจากการหาร x^3 + 4(x^2) + 5x + 2 ด้วย x + 3
วิธีทำ ให้ p(x) = x^3 + 4(x^2) + 5x + 2 แล้ว แทน x ด้วย -3 ลงใน P(x) จะได้ P(-3) = (-3)^3 +4((-3) ^2) +5(-3) + 2 = -4
แสดงว่า เศษจากการหารเป็น -4 #